Конечная математика Примеры

$\frac{a + 2}{a^{2} - 9} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{a + 2}{a^{2} - 3^{2}} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 3$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 3 = - 18$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 a$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 (a) - 3}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 17$ как $1$ плюс $- 18$

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + (1 - 18) a - 3}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + 1 a - 18 a - 3}$

Этап 1.2.1.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + a - 18 a - 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a^{2} + a) - 18 a - 3}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{a (6 a + 1) - 3 (6 a + 1)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 a + 1$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ на $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a + 2) (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a + 2) (6 a + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (6 a + 1) + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 a \cdot a + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем $a$ .

$\frac{6 (a \cdot a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{6 a^{2} + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.2

Добавим $a$ и $12 a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a \cdot a - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 (a \cdot a) - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.4.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6

Вычтем $2 a^{2}$ из $6 a^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} + 13 a + 2 - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.7

Вычтем $6 a$ из $13 a$ .

$\frac{4 a^{2} + 7 a + 2}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$