Конечная математика Примеры

$1 + \frac{1}{\frac{z}{z - \frac{1}{z}}}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 + 1 \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Этап 1.1.2

Умножим $\frac{z - \frac{1}{z}}{z}$ на $1$ .

$1 + \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы записать $z$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$1 + \frac{\frac{z \cdot z}{z} - \frac{1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{\frac{z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3

Перепишем $\frac{z \cdot z - 1}{z}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z - 1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3.2

Возведем $z$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z^{1} - 1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\frac{z^{1 + 1} - 1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1^{2}}{z}}{z}$

Этап 1.1.3.3.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 1$ .

$1 + \frac{\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}}{z}$

Этап 1.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Этап 1.1.5

Умножим $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}$ на $\frac{1}{z}$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z \cdot z}$

Этап 1.1.5.2

Возведем $z$ в степень $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z}$

Этап 1.1.5.3

Возведем $z$ в степень $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z^{1}}$

Этап 1.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1 + 1}}$

Этап 1.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Этап 1.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{z^{2}}{z^{2}} + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{z^{2} + (z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $(z + 1) (z - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + z (z - 1) + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1 \cdot z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.1.3

Перепишем $- 1 z$ в виде $- z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.2

Добавим $- z$ и $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + 0 - 1}{z^{2}}$

Этап 2.2.3

Добавим $z^{2}$ и $0$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1}{z^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $z^{2}$ и $z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 1}{z^{2}}$