Конечная математика Примеры

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Этап 1.1.2

Объединим $s$ и $\frac{2}{3}$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Этап 1.1.3

Перенесем $2$ влево от $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{5}{4}$ и $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Этап 2

Развернем $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $\frac{3 r}{4}$ на $\frac{5 r}{4}$ .

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.3

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.4

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 r$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{r}{4}$ и $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 s}{3}$ в числитель.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.5

Умножим $\frac{- s}{3}$ на $\frac{5 r}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Этап 3.1.9

Умножим $- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Умножим $\frac{s}{3}$ на $\frac{2 s}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.9.2

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.9.3

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.9.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2

Вычтем $\frac{5 s r}{6}$ из $\frac{r s}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $\frac{r s}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- \frac{5 r s}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{r s}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.4.3

Умножим $\frac{5 r s}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.4.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{15 r^{2}}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.4

Чтобы записать $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $48$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{15 r^{2}}{16}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.5.2

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.5.4

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.7

Изменим порядок членов.

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.8

Объединим $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ и $- \frac{2 s^{2}}{9}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Изменим порядок $3 \cdot 15 r^{2}$ и $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.8.2

Чтобы записать $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Этап 3.8.3

Чтобы записать $- \frac{2 s^{2}}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 3.8.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $144$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Умножим $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 3.8.4.2

Умножим $48$ на $3$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 3.8.4.3

Умножим $\frac{2 s^{2}}{9}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Этап 3.8.4.4

Умножим $9$ на $16$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 3.8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.1.2

Вычтем $10 r s$ из $3 r s$ .

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $- 28$ .

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $45$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Этап 4.5

Умножим $16$ на $- 2$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ , а сумма — $b = - 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

Этап 4.6.1.2

Изменим порядок $- 32 s^{2}$ и $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $- 84$ из $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.1.4

Запишем $- 84$ как $36$ плюс $- 120$

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Этап 4.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

Этап 4.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $15 r + 4 s$ .

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$