Конечная математика Примеры

$\frac{10 n^{2} + 23 n - 5}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 10 \cdot - 5 = - 50$ , а сумма — $b = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $23$ из $23 n$ .

$\frac{10 n^{2} + 23 (n) - 5}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1.1.2

Запишем $23$ как $- 2$ плюс $25$

$\frac{10 n^{2} + (- 2 + 25) n - 5}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 n^{2} - 2 n + 25 n - 5}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(10 n^{2} - 2 n) + 25 n - 5}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 n (5 n - 1) + 5 (5 n - 1)}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 n - 1$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{3 n^{2} + 7 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 n$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{3 n^{2} + 7 (n) + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.1.2

Запишем $7$ как $1$ плюс $6$

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{3 n^{2} + (1 + 6) n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{3 n^{2} + 1 n + 6 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{3 n^{2} + n + 6 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n^{2} + n) + 6 n + 2} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{n (3 n + 1) + 2 (3 n + 1)} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 n + 1$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n^{2} + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 3

Вынесем множитель $4 n$ из $4 n^{2} + 8 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4 n$ из $4 n^{2}$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n) + 8 n}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4 n$ из $8 n$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n) + 4 n (2)}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4 n$ из $4 n (n) + 4 n (2)$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{2 n^{2} + 7 n + 5}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 n$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{2 n^{2} + 7 (n) + 5}$

Этап 4.1.2

Запишем $7$ как $2$ плюс $5$

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{2 n^{2} + (2 + 5) n + 5}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{2 n^{2} + 2 n + 5 n + 5}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{(2 n^{2} + 2 n) + 5 n + 5}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{2 n (n + 1) + 5 (n + 1)}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $n + 1$ .

$\frac{(5 n - 1) (2 n + 5)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{(n + 1) (2 n + 5)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $2 n + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 n + 5$ из $(5 n - 1) (2 n + 5)$ .

$\frac{(2 n + 5) (5 n - 1)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{(n + 1) (2 n + 5)}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 n + 5$ из $(n + 1) (2 n + 5)$ .

$\frac{(2 n + 5) (5 n - 1)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{(2 n + 5) (n + 1)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 n + 5) (5 n - 1)}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{(2 n + 5) (n + 1)}$

Этап 5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 n - 1}{(3 n + 1) (n + 2)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{n + 1}$

Этап 6

Сократим общий множитель $n + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $n + 2$ из $(3 n + 1) (n + 2)$ .

$\frac{5 n - 1}{(n + 2) (3 n + 1)} \cdot \frac{4 n (n + 2)}{n + 1}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $n + 2$ из $4 n (n + 2)$ .

$\frac{5 n - 1}{(n + 2) (3 n + 1)} \cdot \frac{(n + 2) (4 n)}{n + 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5 n - 1}{(n + 2) (3 n + 1)} \cdot \frac{(n + 2) (4 n)}{n + 1}$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 n - 1}{3 n + 1} \cdot \frac{4 n}{n + 1}$

Этап 7

Умножим $\frac{5 n - 1}{3 n + 1}$ на $\frac{4 n}{n + 1}$ .

$\frac{(5 n - 1) (4 n)}{(3 n + 1) (n + 1)}$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $4$ влево от $5 n - 1$ .

$\frac{4 \cdot (5 n - 1) n}{(3 n + 1) (n + 1)}$

Этап 8.2

Изменим порядок множителей в $\frac{4 (5 n - 1) n}{(3 n + 1) (n + 1)}$ .

$\frac{4 n (5 n - 1)}{(3 n + 1) (n + 1)}$