Конечная математика Примеры

$\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 5 x - 14} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 5 x - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $5$ .

$- 2, 7$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{x + 3}{x + 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (x + 7)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x + 3}{x + 7}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 7)$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - 5 - (x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 1 \cdot 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.3

Развернем $(- x - 3) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 - x (x - 2) - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.4.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{0 - 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.6

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{- 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 5.7

Добавим $- 5$ и $6$ .

$\frac{- x + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Этап 6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 1}{(x + 7) (x - 2)}$