Конечная математика Примеры

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $e^{4 t}$ в виде ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $e^{2 t}$ в виде ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Этап 1.1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = e^{2 t}$ и $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.2

Перепишем $e^{2 t}$ в виде ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.3

Пусть $u = e^{t}$ . Подставим $u$ вместо $e^{t}$ для всех.

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.4.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.7

Перемножим экспоненты в ${(e^{t})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 1.7.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Этап 2.1.2

Разделим ${(e^{t} + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Перепишем ${(e^{t} + 1)}^{2}$ в виде $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Этап 3

Развернем $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $e^{t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.1.2

Добавим $t$ и $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Умножим $e^{t}$ на $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3

Умножим $e^{t}$ на $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Этап 4.2

Добавим $e^{t}$ и $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$