Конечная математика Примеры

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + i)}^{2}$ в виде $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.2

Развернем $(1 + i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $i$ .

$\frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.3.4

Добавим $i$ и $i$ .

$\frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.4

Перепишем ${(1 - i)}^{2}$ в виде $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.5

Развернем $(1 - i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- i$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- i (- i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.4.6

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - 1} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 i}{0 - i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.3

Вычтем $i$ из $0$ .

$\frac{2 i}{- i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.6.4

Вычтем $i$ из $- i$ .

$\frac{2 i}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $2$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 i$ .

$\frac{2 (i)}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 i}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.8

Сократим общий множитель $i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.8.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{x + i y}$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{2}{x + i y}$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$- 1 \cdot \frac{x + i y}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $- 1$ и $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$\frac{- (x + i y)}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - i y + 2}{x + i y}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - i y + 2}{x + i y}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- i y$ .

$\frac{- (x) - (i y) + 2}{x + i y}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (i y)$ .

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Этап 5.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y) - 1 (- 2)}{x + i y}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + i y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y - 2)}{x + i y}$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $- (x + i y - 2)$ в виде $- 1 (x + i y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + i y - 2)}{x + i y}$

Этап 5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + i y - 2}{x + i y}$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{x + i y - 2}{x + i y}$ на две дроби.

$- (\frac{x + i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{x + i y}{x + i y}$ на две дроби.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} - \frac{2}{x + i y})$