Конечная математика Примеры

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 b^{2}$ в виде ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{a^{2} - {(2 b)}^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 2 b$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - (2 b))}$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{5 a}{a - 2 b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 2 b}{a + 2 b}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} \cdot \frac{a + 2 b}{a + 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{a}{a + 2 b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 2 b}{a - 2 b}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} \cdot \frac{a + 2 b}{a + 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} \cdot \frac{a - 2 b}{a - 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a - 2 b) (a + 2 b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{5 a}{a - 2 b}$ на $\frac{a + 2 b}{a + 2 b}$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a - 2 b) (a + 2 b)} - \frac{a}{a + 2 b} \cdot \frac{a - 2 b}{a - 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{a}{a + 2 b}$ на $\frac{a - 2 b}{a - 2 b}$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a - 2 b) (a + 2 b)} - \frac{a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a - 2 b) (a + 2 b)$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 a (a + 2 b) - a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 a (a + 2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 a \cdot a + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Перенесем $a$ .

$\frac{5 (a \cdot a) + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 a^{2} + 5 \cdot 2 a b - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a \cdot a - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.6

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Перенесем $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - (a \cdot a) - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} - 1 \cdot - 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.1.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} + 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.2

Вычтем $a^{2}$ из $5 a^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} + 10 a b + 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.3

Добавим $10 a b$ и $2 a b$ .

$\frac{4 a^{2} + 12 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 7.4

Вычтем $4 a b$ из $12 a b$ .

$\frac{4 a^{2} + 8 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 8

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a^{2} + 8 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a^{2}$ .

$\frac{4 a (a) + 8 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $4 a$ из $8 a b$ .

$\frac{4 a (a) + 4 a (2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a (a) + 4 a (2 b)$ .

$\frac{4 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $a + 2 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 a}{a - 2 b}$