Конечная математика Примеры

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 19 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ , а сумма — $b = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $19$ из $19 x$ .

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 19 (x) + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $19$ как $7$ плюс $12$

$\frac{8 x}{3 x^{2} + (7 + 12) x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 7 x + 12 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{8 x}{(3 x^{2} + 7 x) + 12 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{8 x}{x (3 x + 7) + 4 (3 x + 7)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 7$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 (x) - 16}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $8$ как $- 4$ плюс $12$

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + (- 4 + 12) x - 16}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} - 4 x + 12 x - 16}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{(3 x^{2} - 4 x) + 12 x - 16}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{x (3 x - 4) + 4 (3 x - 4)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)}$ на $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$ на $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x (3 x - 4) - 4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4 x$ из $8 x (3 x - 4) - 4 x (3 x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $8 x (3 x - 4)$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4)) - 4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x (3 x + 7)$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4)) + 4 x (- (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (2 (3 x - 4)) + 4 x (- (3 x + 7))$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4) - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x (2 (3 x) + 2 \cdot - 4 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 x (6 x + 2 \cdot - 4 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x (6 x - 8 - (3 x) - 1 \cdot 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - 3 x - 1 \cdot 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.7

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - 3 x - 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.8

Вычтем $3 x$ из $6 x$ .

$\frac{4 x (3 x - 8 - 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.9

Вычтем $7$ из $- 8$ .

$\frac{4 x (3 x - 15)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.10

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{4 x (3 (x) - 15)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.10.2

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$\frac{4 x (3 x + 3 \cdot - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.10.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 5$ .

$\frac{4 x (3 (x - 5))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

$\frac{4 x \cdot 3 (x - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Этап 6.11

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x (x - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$