Конечная математика Примеры

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{9}{2 t + 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{5}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{9}{2 t + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $t (2 t + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{5}{t}$ на $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{9}{2 t + 1}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 t + 1) t$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 2.5.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 2.5.4

Вычтем $9 t$ из $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$t = - 5$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 t = - 1$

Этап 6

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Объединим решения.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$t (2 t + 1) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 9.2.3

Приравняем $2 t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $2 t + 1$ к $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Этап 9.2.3.2

Решим $2 t + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 t = - 1$

Этап 9.2.3.2.2

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1}{2}$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (2 t + 1) = 0$ верно.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $t < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $t < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $t$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.625$ меньше правой части $- 0.6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = - 3$

Этап 11.2.2

Заменим $t$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 1.\overline{6}$ не меньше правой части $- 1.8$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < t < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < t < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = - 0.25$

Этап 11.3.2

Заменим $t$ на $- 0.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $18$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $t > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $t > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 2$

Этап 11.4.2

Заменим $t$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

Этап 11.4.3

Левая часть $2.5$ не меньше правой части $1.8$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$t < - 5$ Истина

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Истина

$t > 0$ Ложь

$t < - 5$ Истина

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Истина

$t > 0$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$t < - 5$ или $- \frac{1}{2} < t < 0$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

Этап 14