Конечная математика Примеры

$8 + \frac{3}{y} > \frac{19}{y}$

Этап 1

Умножим обе части на $y$ .

$(8 + \frac{3}{y}) y = \frac{19}{y} y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(8 + \frac{3}{y}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Этап 2.1.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Этап 2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$8 y + 3 = 19$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$8 y = 19 - 3$

Этап 3.1.2

Вычтем $3$ из $19$ .

$8 y = 16$

Этап 3.2

Разделим каждый член $8 y = 16$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $8 y = 16$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $16$ на $8$ .

$y = 2$

Этап 4

Найдем область определения $8 - \frac{16}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{16}{y}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < 0$

$0 < y < 2$

$y > 2$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $y < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $y < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $y$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$8 + \frac{3}{- 2} > \frac{19}{- 2}$

Этап 6.1.3

Левая часть $6.5$ больше правой части $- 9.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < y < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < y < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 1$

Этап 6.2.2

Заменим $y$ на $1$ в исходном неравенстве.

$8 + \frac{3}{1} > \frac{19}{1}$

Этап 6.2.3

Левая часть $11$ не больше правой части $19$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $y > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $y > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $y$ на $4$ в исходном неравенстве.

$8 + \frac{3}{4} > \frac{19}{4}$

Этап 6.3.3

Левая часть $8.75$ больше правой части $4.75$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < 0$ Истина

$0 < y < 2$ Ложь

$y > 2$ Истина

$y < 0$ Истина

$0 < y < 2$ Ложь

$y > 2$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$y < 0$ или $y > 2$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$y < 0 or y > 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Этап 9