Конечная математика Примеры

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ в виде

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим

${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем

${(x + 2)}^{2}$ в виде

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем

$(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем

$2$ влево от

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим

$2$ на

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим

$2 x$ и

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Этап 4

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем таким образом, чтобы

$x$ оказалось в левой части неравенства.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с

$x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим

$x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Этап 4.2.2

Добавим

$x^{2}$ и

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Этап 4.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Этап 4.4

Вычтем

$10$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Этап 4.5

Вычтем

$10$ из

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Этап 4.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель

$2$ из

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель

$2$ из

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.6.1.4

Вынесем множитель

$2$ из

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.6.1.5

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Этап 4.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разложим

$x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Рассмотрим форму

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

$c$ , а сумма —

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

$- 3$ , а сумма —

$2$ .

$- 1, 3$

Этап 4.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 4.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.8

Приравняем

$x - 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем

$x - 1$ к

$0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.9

Приравняем

$x + 3$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем

$x + 3$ к

$0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.9.2

Вычтем

$3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 5

Найдем область определения

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{10 - x^{2}}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем

$10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член

$- x^{2} \geq - 10$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член

$- x^{2} \geq - 10$ на

$- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим

$x^{2}$ на

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Разделим

$- 10$ на

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5

Запишем

$| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.2.5.2

В части, где

$x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.2.5.4

В части, где

$x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.2.6

Найдем пересечение

$x \leq \sqrt{10}$ и

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.7

Решим

$- x \leq \sqrt{10}$ , когда

$x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Разделим каждый член

$- x \leq \sqrt{10}$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Разделим каждый член

$- x \leq \sqrt{10}$ на

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.2.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 5.2.7.1.3.2

Перепишем

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 5.2.7.2

Найдем пересечение

$x \geq - \sqrt{10}$ и

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 5.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале

$x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале

$x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим

$x$ на

$- 6$ в исходном неравенстве.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале

$- \sqrt{10} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале

$- \sqrt{10} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3.08$

Этап 7.2.2

Заменим

$x$ на

$- 3.08$ в исходном неравенстве.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Этап 7.2.3

Левая часть

$- 1.08$ не больше правой части

$0.71665891$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале

$- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале

$- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.3.2

Заменим

$x$ на

$0$ в исходном неравенстве.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Этап 7.3.3

Левая часть

$2$ не больше правой части

$3.16227766$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Проверим значение на интервале

$1 < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале

$1 < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.4.2

Заменим

$x$ на

$2$ в исходном неравенстве.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Этап 7.4.3

Левая часть

$4$ больше правой части

$2.44948974$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.5

Проверим значение на интервале

$x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выберем значение на интервале

$x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.5.2

Заменим

$x$ на

$6$ в исходном неравенстве.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Этап 7.5.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \sqrt{10}$ Истина

$x > \sqrt{10}$ Ложь

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \sqrt{10}$ Истина

$x > \sqrt{10}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < \sqrt{10}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1 < x < \sqrt{10}$

Интервальное представление:

$(1, \sqrt{10})$

Этап 10