Конечная математика Примеры

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10 - x^{2}}$ в виде ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Этап 4.2.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Этап 4.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Этап 4.4

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Этап 4.5

Вычтем $10$ из $4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Этап 4.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Этап 4.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 4.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 4.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.9

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.9.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 5

Найдем область определения $x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{10 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{10}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 5.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 5.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 5.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{10}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 5.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{10} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{10} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3.08$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 3.08$ в исходном неравенстве.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 1.08$ не больше правой части $0.71665891$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Этап 7.3.3

Левая часть $2$ не больше правой части $3.16227766$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $1 < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Этап 7.4.3

Левая часть $4$ больше правой части $2.44948974$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.5

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Этап 7.5.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \sqrt{10}$ Истина

$x > \sqrt{10}$ Ложь

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \sqrt{10}$ Истина

$x > \sqrt{10}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < \sqrt{10}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1 < x < \sqrt{10}$

Интервальное представление:

$(1, \sqrt{10})$

Этап 10