Конечная математика Примеры

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2 > 0$

Этап 1

Упростим $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 1 + 2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Этап 1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} > 0$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x + 1 + 2 x - 2}{x - 1} > 0$

Этап 1.3.3

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} > 0$

Этап 1.3.4

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x - 1} > 0$

Этап 2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 4

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 1$

Этап 7

Объединим решения.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 1} + 2 > 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.67$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0.67$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0.67) + 1}{(0.67) - 1} + 2 > 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 3.\overline{06}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 1}{(4) - 1} + 2 > 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $3.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{3}$ Истина

$\frac{1}{3} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < \frac{1}{3}$ Истина

$\frac{1}{3} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$ или $x > 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{1}{3} or x > 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$

Этап 13