Конечная математика Примеры

$x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

$1 - 3 x = 0$

$5 x + 2 = 0$

Этап 2

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 2.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 2.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Приравняем $1 - 3 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $1 - 3 x$ к $0$ .

$1 - 3 x = 0$

Этап 3.2

Решим $1 - 3 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4

Приравняем $5 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $5 x + 2$ к $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $5 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{4} (1 - 3 \cdot - 3) (5 (- 3) + 2) > 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 10530$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.2$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 0.2$ в исходном неравенстве.

${(- 0.2)}^{4} (1 - 3 \cdot - 0.2) (5 (- 0.2) + 2) > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $0.00256$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.17$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $0.17$ в исходном неравенстве.

${(0.17)}^{4} (1 - 3 \cdot 0.17) (5 (0.17) + 2) > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.00116637$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{4} (1 - 3 \cdot 3) (5 (3) + 2) > 0$

Этап 7.4.3

Левая часть $- 11016$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{2}{5}$ Ложь

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

$x < - \frac{2}{5}$ Ложь

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{2}{5} < x < 0$ или $0 < x < \frac{1}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{2}{5} < x < 0 or 0 < x < \frac{1}{3}$

Интервальное представление:

$(- \frac{2}{5}, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$

Этап 10