Конечная математика Примеры

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2

Добавим $- 7$ и $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Этап 3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 4$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x^{2} = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$x^{2} = 2$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 7

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 8

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Этап 11

Объединим решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Этап 12

Найдем область определения $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Этап 12.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 12.2.2

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 12.2.2.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2.2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 12.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 12.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 12.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $- 0.\overline{259}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{2} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{2} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.21$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $- 1.21$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $0.49531832$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $\sqrt{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $\sqrt{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.71$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $1.71$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $8.10930582$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 14.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Этап 14.5.3

Левая часть $1.4$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Истина

$\sqrt{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Ложь

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Истина

$\sqrt{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \sqrt{2}$ или $- 1 < x < \sqrt{2}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Этап 17