Конечная математика Примеры

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Этап 1

Добавим $\frac{10}{x - 3}$ к обеим частям неравенства.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{10}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{10}{x - 3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 3) x$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $2$ из $14 + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (7) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- \frac{8}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Этап 2.7

Умножим $\frac{8}{x}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 (x - 3)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9.3

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9.4

Добавим $7$ и $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 2.9.5

Вычтем $4 x$ из $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Вычтем $19$ из обеих частей уравнения.

$x = - 19$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, - 19, 3$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x - 3) = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 8.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 19$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 19$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 22$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 22$ в исходном неравенстве.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Этап 10.1.3

Левая часть $0.38\overline{90}$ не больше правой части $0.4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 19 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 19 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Этап 10.2.3

Левая часть $5.4$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 11$ не больше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Этап 10.4.3

Левая часть $- 0.\overline{5}$ больше правой части $- 3.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 19$ Ложь

$- 19 < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 19$ Ложь

$- 19 < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 19 < x < 0$ или $x > 3$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Интервальное представление:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Этап 13