Конечная математика Примеры

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Этап 1

Запишем

$| \frac{1}{8} - x | < 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем

$\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член

$- x \geq - \frac{1}{8}$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член

$- x \geq - \frac{1}{8}$ на

$- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Этап 1.2.2.3.2

Разделим

$\frac{1}{8}$ на

$1$ .

$x \leq \frac{1}{8}$

Этап 1.3

В части, где

$\frac{1}{8} - x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{1}{8} - x < 3$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{1}{8} - x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем

$\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x < - \frac{1}{8}$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член

$- x < - \frac{1}{8}$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член

$- x < - \frac{1}{8}$ на

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Этап 1.5.2.3.2

Разделим

$\frac{1}{8}$ на

$1$ .

$x > \frac{1}{8}$

Этап 1.6

В части, где

$\frac{1}{8} - x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на

$- 1$ .

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим

$- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8.2.2

Умножим

$x$ на

$1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 2

Решим

$\frac{1}{8} - x < 3$ , когда

$x \leq \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим

$\frac{1}{8} - x < 3$ относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без

$x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем

$\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.2

Чтобы записать

$3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{8}{8}$ .

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.3

Объединим

$3$ и

$\frac{8}{8}$ .

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Этап 2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Умножим

$3$ на

$8$ .

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Этап 2.1.1.5.2

Вычтем

$1$ из

$24$ .

$- x < \frac{23}{8}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член

$- x < \frac{23}{8}$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член

$- x < \frac{23}{8}$ на

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем

$- 1 \cdot \frac{23}{8}$ в виде

$- \frac{23}{8}$ .

$x > - \frac{23}{8}$

Этап 2.2

Найдем пересечение

$x > - \frac{23}{8}$ и

$x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Этап 3

Решим

$- \frac{1}{8} + x < 3$ , когда

$x > \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без

$x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим

$\frac{1}{8}$ к обеим частям неравенства.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать

$3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.3

Объединим

$3$ и

$\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим

$3$ на

$8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Этап 3.1.5.2

Добавим

$24$ и

$1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Этап 3.2

Найдем пересечение

$x < \frac{25}{8}$ и

$x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Интервальное представление:

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Этап 6