Конечная математика Примеры

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Этап 1

Запишем $| \frac{1}{8} - x | < 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - \frac{1}{8}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - \frac{1}{8}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Этап 1.2.2.3.2

Разделим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$x \leq \frac{1}{8}$

Этап 1.3

В части, где $\frac{1}{8} - x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{1}{8} - x < 3$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{1}{8} - x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x < - \frac{1}{8}$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- x < - \frac{1}{8}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- x < - \frac{1}{8}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Этап 1.5.2.3.2

Разделим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$x > \frac{1}{8}$

Этап 1.6

В части, где $\frac{1}{8} - x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 1.8.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{1}{8} - x < 3$ , когда $x \leq \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{1}{8} - x < 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $\frac{1}{8}$ из обеих частей неравенства.

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.3

Объединим $3$ и $\frac{8}{8}$ .

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Этап 2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Умножим $3$ на $8$ .

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Этап 2.1.1.5.2

Вычтем $1$ из $24$ .

$- x < \frac{23}{8}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- x < \frac{23}{8}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- x < \frac{23}{8}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{23}{8}$ в виде $- \frac{23}{8}$ .

$x > - \frac{23}{8}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > - \frac{23}{8}$ и $x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Этап 3

Решим $- \frac{1}{8} + x < 3$ , когда $x > \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $\frac{1}{8}$ к обеим частям неравенства.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.3

Объединим $3$ и $\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $3$ на $8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Этап 3.1.5.2

Добавим $24$ и $1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{25}{8}$ и $x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Интервальное представление:

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Этап 6