Конечная математика Примеры

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(x - 2) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.2

Умножим $2 x + 1$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 3.2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.3

Добавим $16$ и $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.2.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ истинным.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2 + \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 4.23606797 \dots$