Конечная математика Примеры

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

(x - 2) x

$(x - 2) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.2

Умножим

2 x + 1

$2 x + 1$ на

1

$1$ .

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с

x

$x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем

2 x

$2 x$ из обеих частей уравнения.

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Этап 3.2.3.2

Вычтем

2 x

$2 x$ из

- 2 x

$- 2 x$ .

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

Этап 3.2.4

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 3.2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2.6

Подставим значения

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ и

c = - 1

$c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

x

$x$ .

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.1

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.2

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 1

$- 1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.3

Добавим

16

$16$ и

4

$4$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.4

Перепишем

20

$20$ в виде

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.4.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

20

$20$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.4.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.2.7.3

Упростим

\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ истинным.

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

Десятичная форма:

x = 4.23606797 \dots

$x = 4.23606797 \dots$