Конечная математика Примеры

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Этап 3

Найдем значение $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Этап 4.3

Добавим $25$ и $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

Этап 6

Разделим каждый член $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ на $\sqrt{29}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ на $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{29}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (x + 0.38050637)$ на $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{29}}$ на $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{29}}$ на $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{29}$ в степень $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{29}$ в степень $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{29}}^{2}$ в виде $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{29}$ в виде $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $0.38050637$ из обеих частей уравнения.

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

Этап 9.2

Вычтем $0.38050637$ из $1.19028994$ .

$x = 0.80978357$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $1.19028994$ из $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $0.38050637$ из обеих частей уравнения.

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

Этап 11.2.2

Вычтем $0.38050637$ из $1.9513027$ .

$x = 1.57079632$

Этап 12

Найдем период $\sin (x + 0.38050637)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Период функции $\sin (x + 0.38050637)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ , для любого целого $n$