Конечная математика Примеры

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $5 \ln (8 x)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Этап 2.1.1.3

Возведем $8$ в степень $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Этап 2.1.1.4

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Этап 2.1.3

Умножим $x^{5}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Этап 2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Этап 2.1.3.3

Добавим $2$ и $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Этап 3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Этап 4

Перепишем $\ln (32768 x^{7}) = 20$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $32768 x^{7} = e^{20}$ на $32768$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $32768 x^{7} = e^{20}$ на $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $32768$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x^{7}$ на $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Этап 5.4

Упростим $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ в виде $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Этап 5.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем $e^{20}$ в виде ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Вынесем $e^{14}$ за скобки.

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем $e^{14}$ в виде ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Этап 5.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перепишем $32768$ в виде $4^{7} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $16384$ из $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем $16384$ в виде $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Этап 5.4.4

Умножим $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Этап 5.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Умножим $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Этап 5.4.5.2

Перенесем $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Этап 5.4.5.3

Возведем $\sqrt[7]{2}$ в степень $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Этап 5.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Этап 5.4.5.5

Добавим $1$ и $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Этап 5.4.5.6

Перепишем ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Этап 5.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Этап 5.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Этап 5.4.5.6.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Этап 5.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Этап 5.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Этап 5.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Перепишем ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ в виде $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Этап 5.4.6.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Этап 5.4.6.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Этап 5.4.7

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 3.94254900 \dots$