Конечная математика Примеры

$3 x^{2} + 2 x - 8 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $32$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 8 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 8 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $48$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Истина

$x > \frac{4}{3}$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Истина

$x > \frac{4}{3}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Интервальное представление:

$(- 2, \frac{4}{3})$

Этап 11