Конечная математика Примеры

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5}{x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x - 2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{5}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x - 2}{3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{5}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Этап 2.5.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Этап 2.5.4

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 2.5.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, 5, - 3$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x = 0$

Этап 9.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2.\overline{6}$ меньше правой части $- 0.8\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 1.\overline{3}$ не меньше правой части $- 2.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $2.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Этап 11.4.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $0.625$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $0 < x < 5$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Этап 14