Конечная математика Примеры

$\frac{x - 3}{x - 6} > 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 3}{x - 6} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} + \frac{- 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 6}{x - 6} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 18}{x - 6} > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 18}{x - 6} > 0$

Этап 2.4.4

Добавим $- 3$ и $18$ .

$\frac{- 2 x + 15}{x - 6} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 15}{x - 6} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 15)}{x - 6} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (2 x - 15)$ в виде $- 1 (2 x - 15)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x - 15}{x - 6} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x - 15 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 15$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = 15$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = 15$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Этап 6

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{15}{2}$

$x = 6$

Этап 8

Объединим решения.

$x = \frac{15}{2}, 6$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{2 x - 15}{x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 15}{x - 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 6 = 0$

Этап 9.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 6$

$6 < x < \frac{15}{2}$

$x > \frac{15}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 6} > 3$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.5$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $6 < x < \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $6 < x < \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{(7) - 3}{(7) - 6} > 3$

Этап 11.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(10) - 3}{(10) - 6} > 3$

Этап 11.3.3

Левая часть $1.75$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 6$ Ложь

$6 < x < \frac{15}{2}$ Истина

$x > \frac{15}{2}$ Ложь

$x < 6$ Ложь

$6 < x < \frac{15}{2}$ Истина

$x > \frac{15}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$6 < x < \frac{15}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$6 < x < \frac{15}{2}$

Интервальное представление:

$(6, \frac{15}{2})$

Этап 14