Конечная математика Примеры

$1 + \frac{2}{x} < 3$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2}{x} < 3 - 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{x} < 2$

Этап 2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = 2 x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = 2$ .

$2 x = 2$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$x = 1$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{2}{x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{- 2} < 3$

Этап 7.1.3

Левая часть $0$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{0.5} < 3$

Этап 7.2.3

Левая часть $5$ не меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{4} < 3$

Этап 7.3.3

Левая часть $1.5$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 1$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 0 or x > 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Этап 10