Конечная математика Примеры

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{3}$ . Подставим $u$ вместо $x^{3}$ для всех.

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x^{3} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x^{3} + 3$ к $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x^{3} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} = - 3$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x^{3} = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{3} = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- \frac{3}{2}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Этап 3.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.2.4.6.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.2.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.2.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.2.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.4.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.2.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.2.4.7.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Этап 3.2.4.8.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Этап 4

Приравняем $x^{3} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{3} - 4$ к $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{3} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 4$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Десятичная форма:

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$