Конечная математика Примеры

$5 - \frac{3}{a} < \frac{7}{a}$

Этап 1

Умножим обе части на $a$ .

$(5 - \frac{3}{a}) a = \frac{7}{a} a$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(5 - \frac{3}{a}) a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 a - \frac{3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Этап 2.1.1.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{a}$ в числитель.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 a - 3 = 7$

Этап 3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5 a = 7 + 3$

Этап 3.1.2

Добавим $7$ и $3$ .

$5 a = 10$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 a = 10$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 a = 10$ на $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{10}{5}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $10$ на $5$ .

$a = 2$

Этап 4

Найдем область определения $5 - \frac{10}{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{10}{a}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$a < 0$

$0 < a < 2$

$a > 2$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $a < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $a < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $a$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$5 - \frac{3}{- 2} < \frac{7}{- 2}$

Этап 6.1.3

Левая часть $6.5$ не меньше правой части $- 3.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < a < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < a < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 1$

Этап 6.2.2

Заменим $a$ на $1$ в исходном неравенстве.

$5 - \frac{3}{1} < \frac{7}{1}$

Этап 6.2.3

Левая часть $2$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $a > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $a > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $a$ на $4$ в исходном неравенстве.

$5 - \frac{3}{4} < \frac{7}{4}$

Этап 6.3.3

Левая часть $4.25$ не меньше правой части $1.75$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$a < 0$ Ложь

$0 < a < 2$ Истина

$a > 2$ Ложь

$a < 0$ Ложь

$0 < a < 2$ Истина

$a > 2$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < a < 2$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < a < 2$

Интервальное представление:

$(0, 2)$

Этап 9