Конечная математика Примеры

$\frac{2}{4 m - 2} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 m - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 m$ .

$\frac{2}{2 (2 m) - 2} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2}{2 (2 m) + 2 (- 1)} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 m) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2}{2 (2 m - 1)} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1.2

Сократим выражение $\frac{2}{2 (2 m - 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 (2 m - 1)} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{20 m^{2} - 14 m + 2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $20 m^{2} - 14 m + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $20 m^{2}$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2}) - 14 m + 2}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 m$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2}) + 2 (- 7 m) + 2}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2}) + 2 (- 7 m) + 2 (1)}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 m^{2}) + 2 (- 7 m)$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2} - 7 m) + 2 (1)}$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 m^{2} - 7 m) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2} - 7 m + 1)}$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 10 \cdot 1 = 10$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 m$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2} - 7 (m) + 1)}$

Этап 1.4.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 2$ плюс $- 5$

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2} + (- 2 - 5) m + 1)}$

Этап 1.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (10 m^{2} - 2 m - 5 m + 1)}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 ((10 m^{2} - 2 m) - 5 m + 1)}$

Этап 1.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (2 m (5 m - 1) - (5 m - 1))}$

Этап 1.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 m - 1$ .

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 ((5 m - 1) (2 m - 1))}$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 m - 1, 5 m - 1, 2 (5 m - 1) (2 m - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.6

Множителем $2 m - 1$ является само значение $2 m - 1$ .

$(2 m - 1) = 2 m - 1$

$(2 m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $5 m - 1$ является само значение $5 m - 1$ .

$(5 m - 1) = 5 m - 1$

$(5 m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $2 m - 1$ является само значение $2 m - 1$ .

$(2 m - 1) = 2 m - 1$

$(2 m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 m - 1, 5 m - 1, 5 m - 1, 2 m - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 m - 1) (5 m - 1)$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (2 m - 1) (5 m - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)}$ умножим на $2 (2 m - 1) (5 m - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 m - 1} - \frac{4}{5 m - 1} = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)}$ на $2 (2 m - 1) (5 m - 1)$ .

$\frac{1}{2 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{2 m - 1} ((2 m - 1) (5 m - 1)) - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 m - 1}$ .

$\frac{2}{2 m - 1} ((2 m - 1) (5 m - 1)) - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $2 m - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 m - 1} ((2 m - 1) (5 m - 1)) - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (5 m - 1) - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (5 m) + 2 \cdot - 1 - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $5$ на $2$ .

$10 m + 2 \cdot - 1 - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 m - 2 - \frac{4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $5 m - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5 m - 1}$ в числитель.

$10 m - 2 + \frac{- 4}{5 m - 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.7.2

Вынесем множитель $5 m - 1$ из $2 (2 m - 1) (5 m - 1)$ .

$10 m - 2 + \frac{- 4}{5 m - 1} ((5 m - 1) (2 (2 m - 1))) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$10 m - 2 + \frac{- 4}{5 m - 1} ((5 m - 1) (2 (2 m - 1))) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$10 m - 2 - 4 (2 (2 m - 1)) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $2$ на $- 4$ .

$10 m - 2 - 8 (2 m - 1) = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$10 m - 2 - 8 (2 m) - 8 \cdot - 1 = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $2$ на $- 8$ .

$10 m - 2 - 16 m - 8 \cdot - 1 = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.1.11

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$10 m - 2 - 16 m + 8 = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $16 m$ из $10 m$ .

$- 6 m - 2 + 8 = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 2$ и $8$ .

$- 6 m + 6 = - \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2 (2 m - 1) (5 m - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)}$ в числитель.

$- 6 m + 6 = \frac{- 7}{2 (5 m - 1) (2 m - 1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2 (2 m - 1) (5 m - 1)$ из $2 (5 m - 1) (2 m - 1)$ .

$- 6 m + 6 = \frac{- 7}{2 (2 m - 1) (5 m - 1) (1)} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 6 m + 6 = \frac{- 7}{2 (2 m - 1) (5 m - 1) \cdot 1} (2 (2 m - 1) (5 m - 1))$

Этап 3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 6 m + 6 = - 7$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $m$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 6 m = - 7 - 6$

Этап 4.1.2

Вычтем $6$ из $- 7$ .

$- 6 m = - 13$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 6 m = - 13$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 6 m = - 13$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 m}{- 6} = \frac{- 13}{- 6}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 m}{- 6} = \frac{- 13}{- 6}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- 13}{- 6}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$m = \frac{13}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$m = \frac{13}{6}$

Десятичная форма:

$m = 2.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$m = 2 \frac{1}{6}$