Конечная математика Примеры

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Этап 1

Вычтем $100$ из обеих частей неравенства.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $98.6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{98.6}{1}$ на $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{98.6}{1}$ на $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Этап 2.1.4

Запишем $- 100$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{- 100}{1}$ на $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{- 100}{1}$ на $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $98.6$ на $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.3.4

Умножим $- 100$ на $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.4

Вычтем $100 t^{2}$ из $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.5

Вычтем $100$ из $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $0.2$ из $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $0.2$ из $5 t$ .

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $- 1.4 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6.1.3

Вынесем множитель $0.2$ из $- 1.4$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6.1.4

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6.1.5

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $25 t$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.10

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.12

Перепишем $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ в виде $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 7$ , $b = - 25$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 25$ в степень $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 28$ на $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Этап 6.1.3

Вычтем $196$ из $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Этап 8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} = - 1$

Этап 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 10

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \pm i$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = i$

Этап 11.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - i$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = i, - i$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Этап 13

Объединим решения.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 0$

Этап 15.1.2

Заменим $t$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Этап 15.1.3

Левая часть $98.6$ не больше правой части $100$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 2$

Этап 15.2.2

Заменим $t$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Этап 15.2.3

Левая часть $100.6$ больше правой части $100$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 6$

Этап 15.3.2

Заменим $t$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Этап 15.3.3

Левая часть $99.4\overline{108}$ не больше правой части $100$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Ложь

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Истина

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Ложь

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Ложь

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Истина

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Интервальное представление:

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Этап 18