Конечная математика Примеры

$p^{2} - 9 p + 20 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$p^{2} - 9 p + 20 = 0$

Этап 2

Разложим $p^{2} - 9 p + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 9$ .

$- 5, - 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(p - 5) (p - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$p - 5 = 0$

$p - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $p - 5$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $p - 5$ к $0$ .

$p - 5 = 0$

Этап 4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$p = 5$

Этап 5

Приравняем $p - 4$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $p - 4$ к $0$ .

$p - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$p = 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(p - 5) (p - 4) = 0$ верно.

$p = 5, 4$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$p < 4$

$4 < p < 5$

$p > 5$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $p < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $p < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $p$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 20 > 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $4 < p < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $4 < p < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 4.5$

Этап 8.2.2

Заменим $p$ на $4.5$ в исходном неравенстве.

${(4.5)}^{2} - 9 \cdot 4.5 + 20 > 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 0.25$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $p > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $p > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 8$

Этап 8.3.2

Заменим $p$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 20 > 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$p < 4$ Истина

$4 < p < 5$ Ложь

$p > 5$ Истина

$p < 4$ Истина

$4 < p < 5$ Ложь

$p > 5$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$p < 4$ или $p > 5$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$p < 4 or p > 5$

Интервальное представление:

$(- \infty, 4) \cup (5, \infty)$

Этап 11