Конечная математика Примеры

$| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$

Этап 1

Запишем $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.2.4

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.6

Объединим решения.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.7

Найдем область определения $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.2.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} \geq 0$

Этап 1.2.9.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} \geq 0$

Этап 1.2.9.2.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} \geq 0$

Этап 1.2.9.3.3

Левая часть $0.\overline{27}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$ или $x \geq 1$

Этап 1.3

В части, где $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ и пересечение с $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.4.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.4.1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.4.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ и $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.6.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.6.4

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.6.5

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.6.6

Объединим решения.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Этап 1.6.7

Найдем область определения $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.6.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.6.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.6.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.6.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 1.6.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.6.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.6.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 0$

Этап 1.6.9.1.3

Левая часть $1$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.6.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 0$

Этап 1.6.9.2.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.6.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} < 0$

Этап 1.6.9.3.3

Левая часть $0.\overline{27}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 1.6.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Этап 1.7

В части, где $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Этап 1.8

Найдем область определения $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ и пересечение с $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 1.8.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 1.8.1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.8.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.8.1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.8.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 1.8.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $- \frac{3}{2} < x < 1$ и $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & x < - \frac{3}{2} or x \geq 1 \\ - \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & - \frac{3}{2} < x < 1 \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ , когда $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Этап 2.1.2

Упростим $\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1 - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.4.4

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 1 - 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.4.5

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{- x - 4}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.6

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.8

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 4}{2 x + 3} < 0$

Этап 2.1.3

$x + 4 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.1.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.1.5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 2.1.6

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2.1.7

$x = - 4$

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2.1.8

Объединим решения.

$x = - 4, - \frac{3}{2}$

Этап 2.1.9

Найдем область определения $- \frac{x + 4}{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 4}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.1.9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 2.1.9.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.1.9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2.1.9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 2.1.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$

$x > - \frac{3}{2}$

Этап 2.1.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.1.11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 1}{2 (- 6) + 3} < 1$

Этап 2.1.11.1.3

Левая часть $0.\overline{7}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.11.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.1.11.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 3) - 1}{2 (- 3) + 3} < 1$

Этап 2.1.11.2.3

Левая часть $1.\overline{3}$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.11.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.1.11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Этап 2.1.11.3.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$x > - \frac{3}{2}$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$x > - \frac{3}{2}$ Истина

Этап 2.1.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $x > - \frac{3}{2}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < - 4 or x > - \frac{3}{2}$ и $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

$x < - 4$ или $x \geq 1$

Этап 3

Решим $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ , когда $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Этап 3.1.2

Упростим $- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (x - 1) - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - 1) - (2 x + 3)$ .

$\frac{- (x - 1 + 2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.4.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{- (3 x - 1 + 3)}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.4.3

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{- (3 x + 2)}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x + 2}{2 x + 3} < 0$

Этап 3.1.3

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.1.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 3.1.5

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.1.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.1.6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.1.7

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.1.8

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.1.9

Объединим решения.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Этап 3.1.10

Найдем область определения $- \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.1.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.1.10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.1.10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.1.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 3.1.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Этап 3.1.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.1.12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- \frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 1$

Этап 3.1.12.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.12.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 3.1.12.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$- \frac{(- 1) - 1}{2 (- 1) + 3} < 1$

Этап 3.1.12.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.12.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.1.12.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Этап 3.1.12.3.3

Левая часть $0.\overline{3}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$x > - \frac{2}{3}$ Истина

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$x > - \frac{2}{3}$ Истина

Этап 3.1.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$ или $x > - \frac{2}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < - \frac{3}{2} or x > - \frac{2}{3}$ и $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

$- \frac{2}{3} < x < 1$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x < - 4$ или $x > - \frac{2}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 4 or x > - \frac{2}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Этап 6