Конечная математика Примеры

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Этап 2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $1$ и $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Этап 9.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Этап 9.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Этап 9.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 1.79128784$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $- 1.79128784$ в виде $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Этап 11.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Этап 12

Решением $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ является $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Этап 13

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 6$

Этап 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Этап 15

Упростим $\pm \sqrt{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Этап 15.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (6)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Этап 15.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Этап 16

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{6}$

Этап 16.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 16.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 17

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 18

Объединим решения.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Этап 19

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Этап 20

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 20.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Этап 20.1.3

Левая часть $- 10.6\overline{81}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 20.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 20.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Этап 20.2.3

Левая часть $0.8\overline{3}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 20.3

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{2.79128784}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 20.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Этап 20.3.3

Левая часть $- 10.6\overline{81}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 20.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Истина

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Ложь

$x > \sqrt{2.79128784}$ Истина

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Истина

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Ложь

$x > \sqrt{2.79128784}$ Истина

Этап 21

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ или $x > \sqrt{2.79128784}$

Этап 22

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Этап 23