Конечная математика Примеры

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 7

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 8.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 10.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 10.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 11

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 13.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 13.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 13.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 13.2.5.2

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 13.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 13.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 13.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 13.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Этап 15.1.3

Левая часть $0.49732533$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Ложь

Этап 16

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения