Конечная математика Примеры

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

Этап 1.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

Этап 1.3

Умножим $27$ на $7$ .

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$9^{2} = 189 x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $189 x^{2} = 9^{2}$ .

$189 x^{2} = 9^{2}$

Этап 3.2

Разделим каждый член $189 x^{2} = 9^{2}$ на $189$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $189 x^{2} = 9^{2}$ на $189$ .

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $189$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x^{2} = \frac{81}{189}$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель $81$ и $189$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $27$ из $189$ .

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Этап 3.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Этап 3.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{3}{7}$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 3.4.3.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 3.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 3.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 3.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $3$ на $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Десятичная форма:

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$