Конечная математика Примеры

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

Этап 1.2

Развернем $(x - 1) (x + 119)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $119$ влево от $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

Этап 3.3

Вычтем $625$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $625$ из $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} + 118 x - 744$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 744$ , а сумма — $118$ .

$- 6, 124$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.8

Приравняем $x + 124$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 124$ к $0$ .

$x + 124 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $124$ из обеих частей уравнения.

$x = - 124$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 124) = 0$ верно.

$x = 6, - 124$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ истинным.

$x = 6$