Конечная математика Примеры

$\log_{16} (x^{2} + 3 x) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Перепишем $\log_{16} (x^{2} + 3 x) = \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = x^{2} + 3 x$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 3 x = 16^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + 3 x = 16^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Упростим $16^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x^{2} + 3 x = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 3 x = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 3 x = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 3 x = 4^{1}$

Этап 2.2.3

Найдем экспоненту.

$x^{2} + 3 x = 4$

Этап 2.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Этап 2.4

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 1, - 4$