Конечная математика Примеры

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 4$ , $b = 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Объединим решения.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $47$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $47$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Истина

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Ложь

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Истина

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Истина

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Ложь

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ или $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Этап 10