Конечная математика Примеры

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Этап 2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x - 7 = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $0.26315789$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.\overline{428571}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $1.625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Ложь

$x > \frac{7}{3}$ Истина

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Ложь

$x > \frac{7}{3}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$ или $x > \frac{7}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Этап 13