Конечная математика Примеры

$\frac{8 x^{3} + 14 x^{2} + 11 x + 8}{2 x + 1}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$14 x^{2}$

$11 x$

$8$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			+	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} + 5 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	+	$8$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	+	$8$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	+	$8$
							+	$6 x$	+	$3$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	+	$8$
							-	$6 x$	-	$3$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$14 x^{2}$	+	$11 x$	+	$8$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	+	$8$
							-	$6 x$	-	$3$
									+	$5$

Этап 1.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4 x^{2} + 5 x + 3 + \frac{5}{2 x + 1}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$5$