Конечная математика Примеры

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 3 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 3$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 0$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 0]$

Обозначение построения множества:

${y | y = 0}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

Диапазон: $[0, 0], {y | y = 0}$

Этап 6