Конечная математика Примеры

Найти область определения и область значения x^2+y^2+8x+2y+8=0
Этап 1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 2
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Возведем в степень .
Этап 3.1.2
Умножим на .
Этап 3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.1
Умножим на .
Этап 3.1.4.2
Умножим на .
Этап 3.1.5
Вычтем из .
Этап 3.1.6
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.6.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.6.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.2
Разложим на множители методом группировки
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.6.2.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.6.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.6.2.1.2
Запишем как плюс
Этап 3.1.6.2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.6.2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.6.2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 3.1.6.2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 3.1.6.2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 3.1.7
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.7.1
Перепишем в виде .
Этап 3.1.7.2
Добавим круглые скобки.
Этап 3.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 3.2
Умножим на .
Этап 3.3
Упростим .
Этап 4
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Возведем в степень .
Этап 4.1.2
Умножим на .
Этап 4.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.4.1
Умножим на .
Этап 4.1.4.2
Умножим на .
Этап 4.1.5
Вычтем из .
Этап 4.1.6
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.6.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.6.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.2
Разложим на множители методом группировки
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.6.2.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.6.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.6.2.1.2
Запишем как плюс
Этап 4.1.6.2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.6.2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.6.2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 4.1.6.2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 4.1.6.2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 4.1.7
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.7.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.7.2
Добавим круглые скобки.
Этап 4.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 4.2
Умножим на .
Этап 4.3
Упростим .
Этап 4.4
Заменим на .
Этап 5
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.1.2
Умножим на .
Этап 5.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.4.1
Умножим на .
Этап 5.1.4.2
Умножим на .
Этап 5.1.5
Вычтем из .
Этап 5.1.6
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.6.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.6.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.2
Разложим на множители методом группировки
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.6.2.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.6.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.6.2.1.2
Запишем как плюс
Этап 5.1.6.2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.6.2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.6.2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 5.1.6.2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 5.1.6.2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 5.1.7
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.7.1
Перепишем в виде .
Этап 5.1.7.2
Добавим круглые скобки.
Этап 5.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 5.2
Умножим на .
Этап 5.3
Упростим .
Этап 5.4
Заменим на .
Этап 6
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 7
Зададим подкоренное выражение в большим или равным , чтобы узнать, где определено данное выражение.
Этап 8
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 8.2
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.1
Приравняем к .
Этап 8.2.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 8.2.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 8.2.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 8.2.2.2.2.2
Разделим на .
Этап 8.2.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.2.3.1
Разделим на .
Этап 8.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1
Приравняем к .
Этап 8.3.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 8.4
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 8.5
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 8.6
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.6.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.6.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 8.6.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 8.6.1.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 8.6.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.6.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 8.6.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 8.6.2.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 8.6.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.6.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 8.6.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 8.6.3.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 8.6.4
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Ложь
Истина
Ложь
Ложь
Истина
Ложь
Этап 8.7
Решение состоит из всех истинных интервалов.
Этап 9
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 10
Множество значений ― это множество всех допустимых значений . Используем график, чтобы найти множество значений.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 11
Определим область определения и множество значений.
Область определения:
Диапазон:
Этап 12