Конечная математика Примеры

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x \leq 4$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $27$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $- 9$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $27$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq 3$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Нет решения

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Нет решения

Этап 10