Конечная математика Примеры

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

9

$9$ в виде

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Этап 4

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем

4

$4$ из обеих частей неравенства.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ на

- 1

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ на

- 1

$- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим

- 4

$- 4$ на

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Этап 6.3

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим

3

$3$ к обеим частям уравнения.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ верно.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале

x < - 3

$x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 3

$x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 6

$x = - 6$

Этап 6.6.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 6

$- 6$ в исходном неравенстве.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть

27

$27$ больше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть

- 9

$- 9$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале

x > 3

$x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале

x > 3

$x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 6

$x = 6$

Этап 6.6.3.2

Заменим

x

$x$ на

6

$6$ в исходном неравенстве.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть

27

$27$ больше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 3

$x < - 3$ Истина

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Ложь

x > 3

$x > 3$ Истина

x < - 3

$x < - 3$ Истина

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Ложь

x > 3

$x > 3$ Истина

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ или

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ или

x \geq 3

$x \geq 3$

Этап 7

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Обозначение построения множества:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений

y

$y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Нет решения

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Нет решения

Этап 10