Конечная математика Примеры

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{12 + x - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$12 + x - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$12 + x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $12 + x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 30$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 18$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 3, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \frac{7}{2}]$

Обозначение построения множества:

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

Диапазон: $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Этап 6