Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2} - 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ .

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $4 x^{2} - x + 4$ на $1$ .

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 1$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $64$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $- 63$ в виде $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (63)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.7

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $64$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $- 63$ в виде $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (63)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.7

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $64$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $- 63$ в виде $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (63)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.7

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 2.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

Обозначение построения множества:

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Этап 6