Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 5 x - 14}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 5 x - 14}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} - 5 x - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $- 5$ .

$- 7, 2$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 2) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 7, - 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 2, x \neq 7}$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- 2, 7) \cup (7, \infty), {x | x > - 2, x \neq 7}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 8