Конечная математика Примеры

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = x^{2} + 4 x - 73$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $x^{2} + 4 x - 73$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Вычтем $73$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Разложим $x^{2} + 4 x - 77$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 77$ , а сумма — $4$ .

$- 7, 11$

Этап 3.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Перепишем $- 4 (x - 7) (x + 11)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $x^{2} + 4 x - 73$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $73$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Разложим $x^{2} + 4 x - 77$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

$- 7, 11$

Этап 4.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Перепишем $- 4 (x - 7) (x + 11)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $x^{2} + 4 x - 73$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Вычтем $73$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Разложим $x^{2} + 4 x - 77$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

$- 7, 11$

Этап 5.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Перепишем $- 4 (x - 7) (x + 11)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 8.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 8.3

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 8.3.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ верно.

$x = 7, - 11$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 14$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 14$ в исходном неравенстве.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 63$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 11 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 11 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $77$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 63$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 11$ Ложь

$- 11 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 11$ Ложь

$- 11 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 11 \leq x \leq 7$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 11, 7]$

Обозначение построения множества:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 7, 11]$

Обозначение построения множества:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Диапазон: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Этап 12