Конечная математика Примеры

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{48}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $64$ на $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{48}$ в числитель.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Этап 3.2.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Этап 3.2.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Этап 3.2.1.3.4

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Этап 3.2.1.3.5

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Этап 3.2.1.4

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Этап 3.2.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $64$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $4$ из $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Этап 5.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Этап 5.3.2

Умножим $16$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Этап 5.4

Перепишем $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.6

Умножим $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.7.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Разделим каждый член $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 8.1.2.1.2

Разделим $48 - x^{2}$ на $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Этап 8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Этап 8.2

Вычтем $48$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 48$

Этап 8.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 48$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 48$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Разделим $- 48$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Этап 8.4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Этап 8.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Этап 8.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Упростим $\sqrt{48}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Этап 8.5.2.1.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 8.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Этап 8.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Этап 8.6

Запишем $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 8.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Этап 8.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 8.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Этап 8.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 8.7

Найдем пересечение $x \leq 4 \sqrt{3}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Этап 8.8

Решим $- x \leq 4 \sqrt{3}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 4 \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 4 \sqrt{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 8.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 8.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 8.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Этап 8.8.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ в виде $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Этап 8.8.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Этап 8.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 4 \sqrt{3}$ и $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Этап 8.9

Найдем объединение решений.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 8, 8]$

Обозначение построения множества:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Диапазон: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Этап 12