Конечная математика Примеры

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{4}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{2}}{9}$ в числитель.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3.2.1.3.2

Объединим $9$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Изменим порядок $- 3^{2}$ и ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{3 x}{2}$ и $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Этап 5.6.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Этап 5.6.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Этап 5.6.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Этап 5.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Этап 5.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 5.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Этап 5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 5.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Этап 5.13

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Объединим $9$ и $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Этап 5.13.2

Умножим $\frac{9 (x + 2)}{2}$ на $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Этап 5.13.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Этап 5.14

Перепишем $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ в виде ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Этап 5.14.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.14.3

Перегруппируем дробь $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 5.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 5.16

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 12