Конечная математика Примеры

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{225}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $625$ на $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{225}$ в числитель.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Этап 3.2.1.3.2

Вынесем множитель $25$ из $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Этап 3.2.1.3.3

Вынесем множитель $25$ из $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Этап 3.2.1.3.4

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Этап 3.2.1.3.5

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Этап 3.2.1.4

Объединим $25$ и $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Этап 3.2.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{25 x^{2}}{9}$ в виде ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 25$ и $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.3

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $25$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $5$ из $25 \cdot 3 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.6

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $25$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Этап 5.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Этап 5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $5$ из $25 \cdot 3 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Вынесем множитель $5$ из $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Этап 5.8.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Этап 5.8.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Этап 5.8.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Этап 5.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $\frac{5 (15 + x)}{3}$ на $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.9.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.9.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Этап 5.10

Перепишем $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Этап 5.10.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.10.3

Перегруппируем дробь $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Этап 5.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Этап 5.12

Объединим $\frac{5}{3}$ и $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Этап 8.2

Приравняем $15 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $15 + x$ к $0$ .

$15 + x = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$x = - 15$

Этап 8.3

Приравняем $15 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $15 - x$ к $0$ .

$15 - x = 0$

Этап 8.3.2

Решим $15 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 15$

Этап 8.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 15$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 15$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.3.1

Разделим $- 15$ на $- 1$ .

$x = 15$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 15, 15$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 18$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 18$ в исходном неравенстве.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 99$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 15 < x < 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 15 < x < 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $225$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 99$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 15$ Ложь

$- 15 < x < 15$ Истина

$x > 15$ Ложь

$x < - 15$ Ложь

$- 15 < x < 15$ Истина

$x > 15$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 15 \leq x \leq 15$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 15, 15]$

Обозначение построения множества:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 25, 25]$

Обозначение построения множества:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Диапазон: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Этап 12