Конечная математика Примеры

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

Этап 1

Вычтем ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ в виде $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

Этап 3.2

Развернем $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Этап 3.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{3 x}{4}$ и $\frac{3 x}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

Этап 3.6.2

Вычтем $9$ из $25$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

Этап 3.6.3

Разделим $16$ на $16$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Этап 3.7

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Этап 3.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \cdot 2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

Этап 3.9.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

Этап 3.9.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

Этап 3.10

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

Этап 3.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

Этап 3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Этап 3.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Этап 3.11.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Этап 3.11.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Перенесем $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Этап 3.11.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

Этап 3.11.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

Этап 3.11.5.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

Этап 3.11.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

Этап 3.11.5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

Этап 3.11.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

Этап 3.11.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

Этап 3.11.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x + 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

Этап 3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.13

Умножим $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Умножим $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.14.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.14.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.14.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.14.6.5

Найдем экспоненту.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.15

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

Этап 3.16

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Этап 4.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Этап 4.4

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $- 2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $- 2 x + 1$ к $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Решим $- 2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 6.2.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 36$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 50$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, \frac{1}{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

Обозначение построения множества:

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Диапазон: $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Этап 10