Конечная математика Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем отношение функций.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим обозначения функций в $\frac{f (x)}{g (x)}$ фактическими функциями.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Этап 1.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Этап 1.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Этап 1.2.3.3

Возведем $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Этап 1.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ в виде $(2 + x) (2 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ в виде ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Этап 1.2.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Этап 1.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.4

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 3.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 3.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.7.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Этап 3.7.1.3

Левая часть $48$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.7.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 3.7.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Этап 3.7.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.7.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.7.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Этап 3.7.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.7.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.7.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Этап 3.7.4.3

Левая часть $- 48$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 3.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $0 \leq x \leq 2$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 5.2

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.3

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 5.3.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Этап 7